Frequenties van muziektonen, stemmen en stemmingen, golflengtes

In de loop van de geschiedenis is de stemming (toonhoogte) niet alijd het zelfde geweest. Heel vroeger speelde die ook niet zo'n rol, zolang iedereen in het zelfde orkest of in de zelfde regio maar op de zelfde toonhoogte stemde, was alles OK. Tegenwoordig is de stemming wereldwijd gestandaardiseerd op A = 440Hz, hoewel er ook wel hoger gestemd wordt op A = 442 Hz bijvoorbeeld door veel blazers en 435 voor sommige "oude muziek" orkesten. Hz = Hertz = aantal trillingen per seconde.

Hier onder een interactieve tabel om de exacte frequenties en de oktaafnamen van de muziektonen op te zoeken:

Deze tabellen zijn gebaseerd op de "evenredig zwevende stemming". Hierbij is elke hogere toon 12e machts wortel 2 maal zo hoog als de voorgaande. Dit is 1,0594630943592952645618252949463...

Formule frequentie verhouding halve toon stijgend: b = a * (2 ^ (1/12))
Formule halve toon dalend: b = a / (2 ^ (1/12))

Een oktaaf hoger dan een toon is zo precies 2x de frequentie ervan, een oktaaf lager precies de helft ervan.

Bij A=440Hz is de lage A (subcontra oktaaf) op een piano met 88 toetsen 27.5Hz, de hoge C (vijfgestreept oktaaf) 4186Hz, de centrale C, C ééngestreept, is 261.6 Hz.

Oktaafnamen

Er zijn verschillende systemen in omloop voor de oktaafnamen en oktaafnummers. In de bovenstaande calculator zijn de volgende opgenomen:

• ISO, ANSI, Acoustic Society of America. Dit is de "wetenschappelijke" internationale norm. Het eengestreept oktaac, beginnend op de middelste C op de piano, is oktaaf 4. Nummering van daaruit stijgend en dalend met volgnummers.
• Helmholtz (Duitse acousticus) variant 1: centrale C oktaaf wordt aangegeven met één streepje, de hogere met telkens een streepje er bij. Klein oktaaf is kleine letter, groot oktaaf is hoofdletter, bij de lagere oktaven worden de hoofdletters herhaald.
• Helmholtz variant 2: oktaaf van de centrale C wordt aangegeven met kleine letter plus superscript 1, hogere oktaven telkens met een hoger cijfer. Klein oktaaf is alleen kleine letter, groot oktaaf hoofdletter, de oktaven daar onder met subscript 1 en zo vervolgens.
• In de MIDI norm is er helaas geen koppeling van een frequentie aan een oktaaf. Daardoor wijken de oktaven soms per fabrikant af. Vaakst wordt gebruikt variant 2, overeenkomend met de ISO norm. Variant 3 gaat uit van de logica dat het laagste oktaaf, beginnend met nootnummer 0, ook oktaafnummer 0 krijgt. Bij variant 1 is de middelste C oktaaf 3.
• Bij de MIDI nootnummers is hier uitgegaan van de centrale C als nootnummer 60. De MIDI nootnummers lopen van 0 t/m 127.

Golflengte

Geluid heeft in lucht van 20°C een snelheid (c) van 344m/sec (=1235km/u). Aan de hand hiervan kun je bij elke frequentie f de bijbehorende golflengte λ uitrekenen. Dit is de afstand die het geluid aflegt als één volledige trilling heeft plaatsgevonden. Meer hierover lees je hier: Frequenties, golflengte en geluidssnelheid

Reine stemmingen

Als je op je gehoor twee verschillende tonen zó stemt dat ze aangenaam bij elkaar klinken, dan blijkt dat de trillingsverhouding steeds een eenvoudige getalsverhouding is. 2:1 is een rein oktaaf, 4:3 een reine kwart, 3:2 een kwint. Deze ontdekking deed overigens Pythagoras al zo'n 2400 jaar geleden. Pythagoras berekende met alleen deze verhoudingen de andere muziektonen:

• C = 261.626 Hz
• G = fC * 3
• D = fG * 3
• A = fD * 3
• enz.

Vervolgens delen we elke frequentie zo vaak door 2 (oktaaf lager maken dus) als nodig is om alles binnen een oktaaf te krijgen. We krijgen dan de uitkomsten volgens Pythagoras. Nadeel van deze stemming is met name dat de grote en kleine terts alle twee te hoog zijn voor het gehoor. Vergelijk ze maar eens met de evenredig zwevende stemming en met de reine tertsen van Zarlino hier onder.

De middeleeuwse theoreticus Zarlino (1517-1590) gebruikte een ander systeem met behalve 4:3 en 3:2 ook nog de verhoudingen 4:5 voor een zuivere grote terts en 5:6 voor een zuivere kleine terts. Dat loste alweer iets op, maar leverde tevens weer andere nieuwe problemen, zoals grote secundes van verschillende grootten. Zijn stemming wordt ook wel "reine stemming" genoemd. Een aantal akkoorden klinkt mooi zuiver in deze stemming, sommige echter weer juist niet...

Ook deze stemming heeft zijn problemen, met name als er naar andere toonsoorten gemoduleerd wordt. Daarom zijn er nog heel wat andere stemmingen in gebruik geweest.

Christiaan Huygens, 31 toonsverdeling

Christiaan Huygens (1629-1695) was een Nederlandse wis- en natuurkundige, die zich ook met de muzikale stemming heeft bezig gehouden. Hem viel op dat met een verdeling van het oktaaf in 31 gelijke toonsafstanden (ipv 12) er een heel goede benadering van de reine intervallen mogelijk was. De verhouding van een toon tot de volgende in het 31 toonssysteem is de 31ste machtwortel uit 2: 1,0226114356012684296176970551179...

In 1950 bouwde Adriaan Fokker een 31 toons orgel met een speciaal toetsenbord. Behalve dat hierop met veel oefening bestaande muziek vrijwel rein kan worden gespeeld, is er ook speciale muziek voor geschreven, oa. door Henk Badings.

Manuaal van het 31-toons Fokker orgel

Er is ook een 31-toons gitaar gebouwd. Vanwege de bespeelbaarheid zijn daarop geen 31 frets per oktaaf aangebracht, maar alleen die frets die het meest gebruikt worden. In de praktijk is er in 12 majeur en in 9 mineurtoonsoorten (vrijwel) rein op te spelen.

31 toons gitaar, gebouwd door Dirk Janssen

Video met uitleg en demonstratie van de 31 toons gitaar.

Evenredig zwevende stemming

De enige stemming die alle problemen "oplost" door de onzuiverheden uit te smeren over het hele oktaaf, is de evenredig zwevende stemming. Dat is de stemming die tegenwoordig gebruikelijk is op bijvoorbeeld piano's, acoordeons en andere instrumenten met een vaste stemming of een vaste oktaafverdeling dmv. bijvoorbeeld fretten, zoals een gitaar of kleppen, zoals een saxofoon of dwarsfluit. Een strijkorkest of een koor kan rein spelen of zingen. Zogauw er bijvoorbeeld een piano bij komt zullen ze zich aan moeten passen aan de stemming van de piano en wordt het minder rein.

Wat heb je er aan?

Uit het bovenstaande is af te leiden dat je als je je gitaar met een stemapparaat of je smartphone app hebt gestemd (die evenredig zwevend zijn gecalibreerd) de akkoorden nooit helemaal zuiver zijn. Met name tertsen (3 en b3) en sexten (6 en b6) die zo belangrijk zijn in majeur en mineur akkoorden, wijken flink af ten opzichte van de reine stemming, kijk maar in de bovenstaande tabel! De grote terts is te hoog en de kleine is te laag. De grote sext is te hoog en de kleine te laag.

Speel je op je gitaar een akkoord waarbij de B snaar een grote terts is, bijvoorbeeld een A akkoord, x02220, dan klinkt de B snaar te hoog. Speel je nu een akkoord waarbij die zelfde snaar kwint is, bijvoorbeeld een E akkoord, 022100, dan is de B snaar OK, maar klinkt de G snaar te hoog. Stem je nu de G snaar lager, zodat dit E akkoord mooi klinkt, dan is een open G akkoord, 230003, waarbij dezelfde G snaar een oktaaf is, weer vals. Je blijft dus bezig... Met andere woorden, er van uitgaande dat je snaren goed zijn en je gitaar goed is afgesteld: stem met een stemapparaat en leer te leven met akkoorden die nét niet helemaal zo zuiver zijn als je wel eens zou willen!

Op fretloze instrumenten (contrabas, viool, cello, fretless bass, arabische oud, enz.) is, na veel oefening, wél zuiver te spelen.

Pianostemmer

Is een beroep, omdat zo iemand (als het goed is) méér doet dan alleen maar op een metertje kijken en aan de stemschroeven draaien. Een goede pianostemmer intoneert een piano of vleugel zodanig dat hij mooi "zingt" en dat de inherente "valsheid", als gevolg van de evenredig zwevende stemming, zo min mogelijk stoort.

Links

• Gitaar stemmen
• Gitaar: alternatieve stemmingen
• Gitaar mechanieken
• Artikel over stemming volgens Kirnberger, Kellner, middentoonstemming, enz. , incl. wiskundige achtergrond
• Huygens / Fokker website over microtonaliteit, 31-toons orgel en een uitputtende reeks toonladders. Met luistervoorbeelden van stemmingen!
• Reyburn RCT piano stemmen software
• Video 31 toons gitaar

Donatie

Dit is een gratis site, die al sinds 2003 voortdurend wordt uitgebreid en geactualiseerd. Als jij ook wilt dat dat zo blijft, doe dan een donatie aan Popschool Maastricht >>

Bijgewerkt op: 19 Juni, 2024